Sigma gorro

σ^

Sea σ un camino uniendo los puntos x0 con x1 en un espacio topológico X . Definimos la aplicación

σ^:π1(X,x0)π1(X,x1),

dada por

σ^([γ])=[σ¯][γ][σ]
Explicación de la definición

Para empezar, γ es un lazo basado en x0. Teniendo en cuenta además que σ¯ es el camino inverso de σ, la idea de σ^ es trasladar un lazo basado en x0 para obtener un lazo basado en x1.
De esta manera, se comienza por un punto x1X cualquiera. A continuación, se retrocede hacia x0 vía σ¯; posteriormente, se recorre el lazo γ, acabando nuevamente en el punto x0; finalmente, se vuelve hacia x1 siguiendo el camino σ dado.

Observación

Notar que σ^ tiene de conjunto de salida y de llegada el grupo fundamental del mismo espacio pero basado en otro punto.